I problemi di Hilbert sono una lista di 23 problemi matematici fondamentali presentati dal matematico tedesco David Hilbert nel 1900, durante il Congresso Internazionale dei Matematici a Parigi. Hilbert intendeva stimolare la ricerca matematica nel XX secolo, proponendo sfide che toccano molte aree della matematica: logica, algebra, geometria, analisi, teoria dei numeri, e altro.
✅ Quali problemi sono stati risolti, e quali no
Ecco una panoramica dello stato attuale dei 23 problemi, in modo semplificato:
| N. | Titolo/Argomento | Stato |
|---|---|---|
| 1 | Ipotesi del continuo | Parzialmente risolto (indipendente dagli assiomi di ZFC) |
| 2 | Coerenza dell’aritmetica | Indimostrabile (Gödel mostra che non si può provare all’interno del sistema stesso) |
| 3 | Equiscomponibilità di poliedri | ✅ Risolto (Dehn, 1901) |
| 4 | Geometrie non euclidee | ✅ Risolto parzialmente |
| 5 | Gruppi continui | ✅ Risolto (Gleason, Montgomery, Zippin, 1950s) |
| 6 | Axiomazione della fisica | ❌ Non completamente risolto |
| 7 | Trascendenza di numeri | ✅ Risolto (Gel’fand–Schneider, 1934) |
| 8 | Ipotesi di Riemann | ❌ Ancora irrisolto |
| 9 | Leggi di reciprocità generali | ✅ Risolto parzialmente (Teoria di classe) |
| 10 | Soluzione di equazioni diofantee | ✅ Negativa (Matiyasevich, 1970) |
| 11 | Rappresentazione dei numeri quadratici | ✅ Risolto parzialmente |
| 12 | Estensione delle leggi di reciprocità | ❌ Incompleto |
| 13 | Solvibilità di equazioni algebriche | ✅ Risolto (Kolmogorov, Arnold) |
| 14 | Insiemi di polinomi invarianti | ✅ Risolto negativamente (Nagata, 1959) |
| 15 | Omologia in geometria algebrica | ✅ Sviluppata (Teoria moderna) |
| 16 | Curve algebriche e limiti di cicli | ❌ Ancora aperto (seconda parte) |
| 17 | Rappresentazione di funzioni positive | ✅ Risolto (Artin, 1927) |
| 18 | Tassellazioni e gruppi discreti | ✅ Risolto (es. problemi di Kepler) |
| 19 | Regolarità delle soluzioni in calcolo delle variazioni | ✅ Risolto (De Giorgi, Nash, 1950s) |
| 20 | Esistenza delle soluzioni per problemi al contorno | ✅ Risolto (Teoria moderna delle PDE) |
| 21 | Problema di Riemann-Hilbert | ✅ Risolto parzialmente |
| 22 | Funzioni automorfe | ✅ Sviluppato in teoria delle funzioni modulari |
| 23 | Estensione dei metodi di variazione | ✅ In parte integrato nella teoria moderna |
🏆 Cosa “vince” chi risolve un problema di Hilbert?
Non esiste un premio ufficiale per chi risolve un problema di Hilbert (a differenza, ad esempio, dei Millennium Prize Problems del Clay Institute, che offrono 1 milione di dollari per ciascuno dei 7 problemi). Tuttavia:
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La fama matematica è garantita.
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Può portare a premi scientifici importanti (come la Medaglia Fields, il Premio Abel, o altri riconoscimenti accademici).
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Il lavoro entra nella storia della matematica, e può segnare un punto di svolta scientifico per intere discipline.
🔍 Curiosità
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Il problema più famoso della lista è l’Ipotesi di Riemann (n. 8), tuttora uno dei grandi misteri irrisolti.
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Il problema 1, sull’ipotesi del continuo, è diventato un caso filosofico oltre che matematico, perché si è scoperto che non si può né dimostrare né confutare usando gli assiomi standard della matematica.