Record matematico: come si trova un numero primo di 40 milioni di cifre?

La scoperta di un nuovo numero primo lungo oltre 41 milioni di cifre ha recentemente fatto notizia e ha stupito il mondo della matematica. Dopo sei anni dal precedente record, un team internazionale di matematici e ingegneri informatici ha raggiunto questo risultato impressionante, utilizzando un cloud di supercomputer dislocati in 17 paesi. Ma la domanda sorge spontanea: a cosa serve scoprire numeri primi così grandi, e perché la comunità scientifica investe risorse significative in questa “caccia”?

Trovare un numero primo con 40 milioni di cifre è una sfida colossale e richiede approcci specializzati, come l’uso dei numeri primi di Mersenne e algoritmi specifici come il test di Lucas-Lehmer, oltre all’impiego di risorse computazionali avanzate, come supercomputer o reti distribuite di calcolo.

Numeri Primi di Mersenne e il Test di Lucas-Lehmer

I numeri primi di Mersenne sono della forma 2p−12^p – 12p−1, dove $p$ è un numero primo. Questa forma è particolarmente utile perché facilita i calcoli necessari per verificare la primalità dei numeri grandi, e molti dei più grandi numeri primi scoperti finora appartengono a questa categoria.

Test di Lucas-Lehmer

Il test di Lucas-Lehmer è particolarmente efficace per numeri di Mersenne e può determinare se un numero della forma 2p−12^p – 12p−1 è primo in modo relativamente efficiente. Ecco come funziona:

1. Scegli un valore di $p$ (che deve essere un numero primo).
2. Calcola 2p−12^p – 12p−1.
3. Applica il test di Lucas-Lehmer: questo algoritmo procede iterativamente e riduce il numero di calcoli esponenziali necessari, usando una sequenza ricorsiva.
4. Se la sequenza raggiunge lo zero al termine dei calcoli, allora 2p−12^p – 12p−1 è primo.

Per numeri di circa 40 milioni di cifre, l’algoritmo richiede comunque un enorme numero di operazioni, ma è uno dei più veloci rispetto ai metodi generali.

Uso del Calcolo Distribuito e dei Supercomputer

Dato che un numero primo di 40 milioni di cifre è immenso, sono necessarie enormi risorse computazionali. La potenza richiesta è spesso distribuita su migliaia di CPU, e in alcuni casi, GPU ad alta capacità, che lavorano in parallelo. Alcuni metodi includono:

• Supercomputer: I supercomputer possono gestire calcoli che richiederebbero anni su un normale computer. Un esempio è la rete di supercomputer usata dal Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS), che ha scoperto molti dei più grandi numeri primi noti.
• Calcolo Distribuito: GIMPS, ad esempio, si basa sulla potenza di calcolo di volontari da tutto il mondo. Chiunque può partecipare, contribuendo con la potenza del proprio computer per verificare la primalità dei numeri di Mersenne.

Costi e Tempi di Calcolo

I costi per trovare un numero primo così grande possono variare notevolmente. Ecco un’idea dei costi coinvolti:

• Calcolo Distribuito (GIMPS): partecipando a GIMPS, i costi sono distribuiti tra i partecipanti, e chi scopre un nuovo numero primo di Mersenne può anche ricevere un premio. Tuttavia, per l’organizzazione, i costi di mantenimento sono significativi, con server e infrastruttura per gestire milioni di risultati.
• Supercomputer: L’uso di un supercomputer per una singola ricerca può costare decine di migliaia di dollari al giorno. Progetti accademici o di ricerca spesso accedono a supercomputer sponsorizzati, riducendo il costo diretto per i ricercatori.
• Cloud Computing: Utilizzare servizi come Amazon Web Services o Google Cloud per calcoli distribuiti può costare tra 0,10 e 0,80 dollari l’ora per ogni CPU, o fino a 2-3 dollari per istanze GPU, portando i costi a decine di migliaia di dollari per verifiche di settimane o mesi.

Verifica della Primalità

Verificare la primalità di un numero di 40 milioni di cifre è l’aspetto più complesso. Anche con l’aiuto di algoritmi come il test di Lucas-Lehmer, un’operazione del genere può richiedere settimane o mesi di calcolo, a seconda delle risorse utilizzate.

Un approccio pratico

Nel caso si voglia effettivamente trovare un numero primo di 40 milioni di cifre, il modo più pratico è:

1. Iscriversi a un progetto distribuito come GIMPS: si contribuisce alla ricerca, e se si è fortunati, si può partecipare alla scoperta di un nuovo numero primo di Mersenne.
2. Investire in una soluzione di cloud computing: se si hanno risorse, si può affittare un’infrastruttura di calcolo potente, sapendo però che i costi potrebbero diventare molto elevati.

La scoperta di un numero primo di 40 milioni di cifre è una delle frontiere della matematica e della scienza computazionale, richiedendo algoritmi specializzati e risorse distribuite. L’uso di numeri di Mersenne e test di Lucas-Lehmer, combinato con calcolo distribuito e supercomputer, rende questa impresa possibile, ma non senza costi computazionali e finanziari significativi.